Оглавление
Введение 2
1. Арифметика 3
1.1. История развития арифметики 3
1.2. Основной объект арифметики 7
1.3. Позиционная система счисления 8
2. Великие математики древности 8
2.1. Пифагор ( ок. 570 – ок. 500 гг. до н. э.) 8
2.2. Архимед (ок. 287 – 212 гг. до н. э.) 9
2.3. Евклид 9
Заключение 11
Список литературы 11
Введение
С арифметики, науки о числе, начинается наше знакомство с математикой. Один из первых русских учебников арифметики был написан Л. Ф. Магницким в 1703 г. Этот учебник начинался словами: «Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобнопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разнын времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное».
С арифметикой мы входим, как говорил М. В. Ломоносов, во «врата учености» и начинаем наш долгий и нелегкий, но увлекательный путь познания мира.
Отличное знание арифметики необходимо каждому человеку независимо от его занятий.
В жизни нас постоянно окружают разные предметы: в помещении –стены, окна, двери, мебель; на улице – дома, автомашины, трамваи, деревья и т. д. Эти предметы имеют вес, объем и форму.
Для изучения размеров тел, их формы и расположения люди создали большую и очень важную науку – математику. Математика как наука создана не одним человеком, а всеми людьми и не сразу, а постепенно, в течение многих тысяч лет. Арифметика является частью математики, она возникла раньше всех других разделов математики и является одной из самых древних наук.
Некоторые арифметические понятия возникли еще в первобытнообщинном обществе. В дальнейшем, с развитием человеческого общества, в течение многих тысячелетий, постепенно накапливались и развивались математические навыки и знания. О первых шагах арифметики можно узнать, изучая языки разных народов, данные археологических раскопок и т.д. А также можно до некоторой степени судить о том, как развивалась арифметика, изучая арифметические сведения у племен Африки, Азии и Америки, стоящих на низкой ступени развития.
Арифметические познания у отсталых племен сводятся обычно только к счету. Выдающийся русский ученый-путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай (1846-1888) описал, как считали папуасы с островов Новой Гвинеи:
«Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе, бе, бе»… Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе…», пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
На первых порах развития человеческого общества, когда человеку не требовались большие числа, люди для счета вполне обходились пальцами одной руки, потом двух, потом пальцами рук и ног.
Позже, с развитием человеческого общества, все чаще возникала необходимость пересчитывать такое количество предметов, на которое пальцев не хватало.
Постепенно были придуманы новые приема счета. Африканские негры, например, считают на камешках и орехах и каждый раз, когда доходят до 5, складывают их отдельно в маленькую кучку. Жители некоторых островов Тихого океана ведут счет на кокосовых черешках, откладывая маленький черешок каждый раз, как они доходят до 10, и большой, – когда доходят до 100.
Прошли еще многие тысячи лет. Развились обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами.
Так постепенно возникла та арифметика, которую мы изучаем.
Сейчас арифметика является частью (началом) большой и очень важной науки – математики. Без знания математики нельзя правильно построить дом, машину, станок, составить план местности, нельзя подсчитать урожай, определить размер вспахиваемого поля и т.д.
Нет такой области знаний, где бы математика не применялась. А чтобы знать математику, надо хорошо знать арифметику.
1. Арифметика
Слово «арифметика» происходит от греческого слова arithmos, что значит «число». В более точном переводе слово «арифметика» означает «числовое искусство»: «арифмос» – число, «техно» – искусство.
Эта наука изучает действия над целыми и дробными числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Но арифметика нужна не только для подсчета чисел. Арифметика учит правильно и экономно мыслить, рассуждать, приучает к точности, к проверке своих действий. Кроме того, без знания арифметики нельзя изучать никакой другой предмет.
Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы – алгебру, математический анализ и т. д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел.
Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.
^ 1.1. История развития арифметики
Развитие элементов мыслительной деятельности, которые лежат в основе процесса счета, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся:
- умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счету их совокупности;
- умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счете (пользование именованной «единицей» счета);
- умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз и навсегда упорядоченной совокупности объектов, т.е. совокупности объектов, расположенных в определенной последовательности.
Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счете предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлеченного понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметических понятий.
Сначала счет оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, при этом орудием счета служат зарубки на дереве («бирочный» счет), счетные камешки, четки, пальцы рук и т.п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» – как синоним числительного «два», кисть руки («пясть») – как синоним и фактическая основа числительного «пять» и т.п.
Предполагается, что в далеком прошлом подобным образом считали наши предки.
Лет сто пятьдесят назад американские индейцы при счете пользовались пальцами рук и ног. Вместо один говорили «палец» и обязательно показывали его, вместо два говорили «два пальца» и показывали их: пять у них – «рука», шесть – «рука и один палец» и т.д.
Эскимосы из Северной Канады в 19 веке вместо 20 говорили «человек» (по числу пальцев), вместо 100 – «пять человек».
Некоторые индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, у них «много».
До недавнего времени в Австралии были племена, у которых для счета употреблялись только два числительных: один и два. Другие числа составлялись из этих. Например, 3 = два-один, 4 = два-два, 5 = два-два-один и т.д.
Словесный порядковый счет (раз, два, три и т.д.), прямую зависимость которого от пальцевого счета (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в некоторых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счетом групп, содержащих определенное число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления (обычно в результате счета по пальцам двух рук), равное 10. Встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 – «quatre-vingt» = 4*20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых отношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно были очень схожи у общавшихся между собой племен и народностей. Именно это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в настоящее время системы нумерации (счисления), принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметических действий. По-видимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имен числительных в различных языках, например: два – duo (латин.), two (англ.), dva (санскр.), δύο (греч.).
Знания и навыки по приемам счета и вычислениям накапливались одновременно во многих странах древнего мира (Древнего Востока): Вавилоне, Китае, Индии, Египте.
Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний являются письменные документы Древнего Египта (папирусы математические). Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г.Ринда) относится к 20 веку до н.э. Папирусы математические – это сборники задач с указаниями их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами без каких бы то ни было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач производится по существу с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметические и геометрические прогрессии.
О довольно высоком уровне арифметической культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н.э. позволяют судить клинописные математические тексты. Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60)
АНАКСАГОР
с шестидесятеричной, с разрядными единицами 60, 60², и т.д. Наиболее существенным показателем высокого уровня арифметики является употребление шестидесятеричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям. Техника выполнения арифметических действий у вавилонян, в теоретическом отношении аналогичная обычным приемам в десятичной системе, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по-видимому, учебные пособия, находятся, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трехзначные, т.е. с точностью до 1/60² и 1/60³), применявшиеся при делении.
Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции.
У древних греков практическая сторона арифметики не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для выполнения сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреческие астрономы предпочитали пользоваться шестидесятеричной системой). С другой стороны, древнегреческие математики положили начало теоретической разработке арифметики в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и – в неявной форме – также и теории иррациональных чисел.
Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история – Анаксагор и Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (6 в. до н.э.).
В «Началах» Евклида (3 в. до н.э.) имеются сохранившие свое значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (алгоритм Евклида), доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа √2), и изложенная в геометрической форме
ЭРАТОСФЕН
теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (Евклид), пифагоровых числах, а также – уже в более позднюю эпоху – алгоритмы для выделения простых чисел (решето Эратосфена) и решения ряда неопределенных уравнений 2-й и более высоких степеней (Диофант).
Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл «Псаммит» Архимеда (3 век до н.э.), в котором показывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Труды Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближенных значений искомых величин; так, им описано извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел.
Римляне не продвинули вперед технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.
Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних культур; однако, чрезвычайно важные этапы в развитии арифметики связываются с культурой Индии, окавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Дальнего Востока (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметического содержания, наиболее существенная заслуга индийцев – введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметических действий.
Человек, умевший хорошо вычислять, был в Индии славен и почитаем. Индийский народ хранит легенды и обычаи, свидетельствующие об отношении народа к математике и к людям, овладевшим ею. Так, например, по древнему обычаю отец только тогда соглашался отдать дочь замуж, когда
ЗЕНОН
ДИОФАНТ
жених мог доказать свое искусство в спорте, письме и арифметике. Подобных обычаев было немало.
В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. Ученые средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие древнегреческих математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев, от которых пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления. Методы выполнения арифметических действий, в значительной мере еще далекие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 века стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию.
Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с 13 века повышается интерес к арифметике и в Европе. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году.
Примерно с 16 века развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.
Сравнительно медленный прогресс арифметики в средние века сменяется к началу 17 века быстрым усовершенствованием приемов вычисления в связи с возросшими практическими запросами к технике вычислений (задачами мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчеты и т.п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся еще индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европейских ученых, применялись сначала в неявной форме в тригонометрических таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т.д. при радиусе, принятом за 10 в пятой степени). Впервые (1427 г.) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши, работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевина (1585 г.) и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 века Дж. Непером. В начале 18 века приемы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму.
В России до начала 17 века применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметических руководств начала 18 века наибольшее имела «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 г.). Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в том числе десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практических сведений, относящихся к коммерческим расчетам и задачам навигации. Изложение арифметики приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлера и его учеников.
^ 1.2. Основной объект арифметики
Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4, … и так далее, возникли еще в доисторические времена из потребности счета конкретных предметов.
Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и тому подобное. Эта задача в процессе развития человеческого общества была постепенно достигнута параллельно с развитием письменности: понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в знаменитых памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел. В книге Архимеда «Псаммит» устанавливаются принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших чисел, в частности бóльших, чем «число песчинок в мире».
С развитием понятия натурального числа, как результата счета предметов, в обиход включаются действия над числами: действия сложения, вычитания, умножения и деления. Начинают разрабатываться правила этих действий, изучаться из свойства, создаваться методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе – арифметики. В процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении все более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий.
Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записей чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.
Расскажем, например, более подробно об одном из огромного множества натуральных чисел.
Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.
Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.
Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось. (Это заставляло, например, Евклида отдельно доказывать свойство пропорций в случае, когда один из членов пропорции равен единице.)
Но уже И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, к тому времени единица уже заняла своё законное место среди других чисел.
Основное свойство, характеризующее число 1, таково:
а * 1 = а для любого числа а.
Это свойство числа 1 переносится и на некоторые другие математические объекты, для которых определена операция умножения.
^ 1.3. Позиционная система счисления
Позиционная система – это система счисления, основанная на принципе позиционного, или поместного, значения цифр.
Система счисления, или нумерация, – совокупность приемов представления об...
Введение 2
1. Арифметика 3
1.1. История развития арифметики 3
1.2. Основной объект арифметики 7
1.3. Позиционная система счисления 8
2. Великие математики древности 8
2.1. Пифагор ( ок. 570 – ок. 500 гг. до н. э.) 8
2.2. Архимед (ок. 287 – 212 гг. до н. э.) 9
2.3. Евклид 9
Заключение 11
Список литературы 11
Введение
С арифметики, науки о числе, начинается наше знакомство с математикой. Один из первых русских учебников арифметики был написан Л. Ф. Магницким в 1703 г. Этот учебник начинался словами: «Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобнопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разнын времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное».
С арифметикой мы входим, как говорил М. В. Ломоносов, во «врата учености» и начинаем наш долгий и нелегкий, но увлекательный путь познания мира.
Отличное знание арифметики необходимо каждому человеку независимо от его занятий.
В жизни нас постоянно окружают разные предметы: в помещении –стены, окна, двери, мебель; на улице – дома, автомашины, трамваи, деревья и т. д. Эти предметы имеют вес, объем и форму.
Для изучения размеров тел, их формы и расположения люди создали большую и очень важную науку – математику. Математика как наука создана не одним человеком, а всеми людьми и не сразу, а постепенно, в течение многих тысяч лет. Арифметика является частью математики, она возникла раньше всех других разделов математики и является одной из самых древних наук.
Некоторые арифметические понятия возникли еще в первобытнообщинном обществе. В дальнейшем, с развитием человеческого общества, в течение многих тысячелетий, постепенно накапливались и развивались математические навыки и знания. О первых шагах арифметики можно узнать, изучая языки разных народов, данные археологических раскопок и т.д. А также можно до некоторой степени судить о том, как развивалась арифметика, изучая арифметические сведения у племен Африки, Азии и Америки, стоящих на низкой ступени развития.
Арифметические познания у отсталых племен сводятся обычно только к счету. Выдающийся русский ученый-путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай (1846-1888) описал, как считали папуасы с островов Новой Гвинеи:
«Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе, бе, бе»… Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе…», пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
На первых порах развития человеческого общества, когда человеку не требовались большие числа, люди для счета вполне обходились пальцами одной руки, потом двух, потом пальцами рук и ног.
Позже, с развитием человеческого общества, все чаще возникала необходимость пересчитывать такое количество предметов, на которое пальцев не хватало.
Постепенно были придуманы новые приема счета. Африканские негры, например, считают на камешках и орехах и каждый раз, когда доходят до 5, складывают их отдельно в маленькую кучку. Жители некоторых островов Тихого океана ведут счет на кокосовых черешках, откладывая маленький черешок каждый раз, как они доходят до 10, и большой, – когда доходят до 100.
Прошли еще многие тысячи лет. Развились обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами.
Так постепенно возникла та арифметика, которую мы изучаем.
Сейчас арифметика является частью (началом) большой и очень важной науки – математики. Без знания математики нельзя правильно построить дом, машину, станок, составить план местности, нельзя подсчитать урожай, определить размер вспахиваемого поля и т.д.
Нет такой области знаний, где бы математика не применялась. А чтобы знать математику, надо хорошо знать арифметику.
1. Арифметика
Слово «арифметика» происходит от греческого слова arithmos, что значит «число». В более точном переводе слово «арифметика» означает «числовое искусство»: «арифмос» – число, «техно» – искусство.
Эта наука изучает действия над целыми и дробными числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Но арифметика нужна не только для подсчета чисел. Арифметика учит правильно и экономно мыслить, рассуждать, приучает к точности, к проверке своих действий. Кроме того, без знания арифметики нельзя изучать никакой другой предмет.
Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы – алгебру, математический анализ и т. д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел.
Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.
^ 1.1. История развития арифметики
Развитие элементов мыслительной деятельности, которые лежат в основе процесса счета, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся:
- умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счету их совокупности;
- умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счете (пользование именованной «единицей» счета);
- умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз и навсегда упорядоченной совокупности объектов, т.е. совокупности объектов, расположенных в определенной последовательности.
Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счете предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлеченного понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметических понятий.
Сначала счет оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, при этом орудием счета служат зарубки на дереве («бирочный» счет), счетные камешки, четки, пальцы рук и т.п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» – как синоним числительного «два», кисть руки («пясть») – как синоним и фактическая основа числительного «пять» и т.п.
Предполагается, что в далеком прошлом подобным образом считали наши предки.
Лет сто пятьдесят назад американские индейцы при счете пользовались пальцами рук и ног. Вместо один говорили «палец» и обязательно показывали его, вместо два говорили «два пальца» и показывали их: пять у них – «рука», шесть – «рука и один палец» и т.д.
Эскимосы из Северной Канады в 19 веке вместо 20 говорили «человек» (по числу пальцев), вместо 100 – «пять человек».
Некоторые индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, у них «много».
До недавнего времени в Австралии были племена, у которых для счета употреблялись только два числительных: один и два. Другие числа составлялись из этих. Например, 3 = два-один, 4 = два-два, 5 = два-два-один и т.д.
Словесный порядковый счет (раз, два, три и т.д.), прямую зависимость которого от пальцевого счета (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в некоторых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счетом групп, содержащих определенное число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления (обычно в результате счета по пальцам двух рук), равное 10. Встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 – «quatre-vingt» = 4*20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых отношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно были очень схожи у общавшихся между собой племен и народностей. Именно это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в настоящее время системы нумерации (счисления), принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметических действий. По-видимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имен числительных в различных языках, например: два – duo (латин.), two (англ.), dva (санскр.), δύο (греч.).
Знания и навыки по приемам счета и вычислениям накапливались одновременно во многих странах древнего мира (Древнего Востока): Вавилоне, Китае, Индии, Египте.
Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний являются письменные документы Древнего Египта (папирусы математические). Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г.Ринда) относится к 20 веку до н.э. Папирусы математические – это сборники задач с указаниями их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами без каких бы то ни было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач производится по существу с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметические и геометрические прогрессии.
О довольно высоком уровне арифметической культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н.э. позволяют судить клинописные математические тексты. Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60)
АНАКСАГОР
с шестидесятеричной, с разрядными единицами 60, 60², и т.д. Наиболее существенным показателем высокого уровня арифметики является употребление шестидесятеричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям. Техника выполнения арифметических действий у вавилонян, в теоретическом отношении аналогичная обычным приемам в десятичной системе, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по-видимому, учебные пособия, находятся, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трехзначные, т.е. с точностью до 1/60² и 1/60³), применявшиеся при делении.
Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции.
У древних греков практическая сторона арифметики не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для выполнения сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреческие астрономы предпочитали пользоваться шестидесятеричной системой). С другой стороны, древнегреческие математики положили начало теоретической разработке арифметики в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и – в неявной форме – также и теории иррациональных чисел.
Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история – Анаксагор и Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (6 в. до н.э.).
В «Началах» Евклида (3 в. до н.э.) имеются сохранившие свое значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (алгоритм Евклида), доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа √2), и изложенная в геометрической форме
ЭРАТОСФЕН
теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (Евклид), пифагоровых числах, а также – уже в более позднюю эпоху – алгоритмы для выделения простых чисел (решето Эратосфена) и решения ряда неопределенных уравнений 2-й и более высоких степеней (Диофант).
Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл «Псаммит» Архимеда (3 век до н.э.), в котором показывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Труды Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближенных значений искомых величин; так, им описано извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел.
Римляне не продвинули вперед технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.
Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних культур; однако, чрезвычайно важные этапы в развитии арифметики связываются с культурой Индии, окавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Дальнего Востока (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметического содержания, наиболее существенная заслуга индийцев – введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметических действий.
Человек, умевший хорошо вычислять, был в Индии славен и почитаем. Индийский народ хранит легенды и обычаи, свидетельствующие об отношении народа к математике и к людям, овладевшим ею. Так, например, по древнему обычаю отец только тогда соглашался отдать дочь замуж, когда
ЗЕНОН
ДИОФАНТ
жених мог доказать свое искусство в спорте, письме и арифметике. Подобных обычаев было немало.
В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. Ученые средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие древнегреческих математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев, от которых пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления. Методы выполнения арифметических действий, в значительной мере еще далекие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 века стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию.
Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с 13 века повышается интерес к арифметике и в Европе. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году.
Примерно с 16 века развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.
Сравнительно медленный прогресс арифметики в средние века сменяется к началу 17 века быстрым усовершенствованием приемов вычисления в связи с возросшими практическими запросами к технике вычислений (задачами мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчеты и т.п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся еще индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европейских ученых, применялись сначала в неявной форме в тригонометрических таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т.д. при радиусе, принятом за 10 в пятой степени). Впервые (1427 г.) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши, работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевина (1585 г.) и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 века Дж. Непером. В начале 18 века приемы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму.
В России до начала 17 века применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметических руководств начала 18 века наибольшее имела «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 г.). Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в том числе десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практических сведений, относящихся к коммерческим расчетам и задачам навигации. Изложение арифметики приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлера и его учеников.
^ 1.2. Основной объект арифметики
Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4, … и так далее, возникли еще в доисторические времена из потребности счета конкретных предметов.
Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и тому подобное. Эта задача в процессе развития человеческого общества была постепенно достигнута параллельно с развитием письменности: понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в знаменитых памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел. В книге Архимеда «Псаммит» устанавливаются принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших чисел, в частности бóльших, чем «число песчинок в мире».
С развитием понятия натурального числа, как результата счета предметов, в обиход включаются действия над числами: действия сложения, вычитания, умножения и деления. Начинают разрабатываться правила этих действий, изучаться из свойства, создаваться методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе – арифметики. В процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении все более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий.
Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записей чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.
Расскажем, например, более подробно об одном из огромного множества натуральных чисел.
Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.
Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.
Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось. (Это заставляло, например, Евклида отдельно доказывать свойство пропорций в случае, когда один из членов пропорции равен единице.)
Но уже И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, к тому времени единица уже заняла своё законное место среди других чисел.
Основное свойство, характеризующее число 1, таково:
а * 1 = а для любого числа а.
Это свойство числа 1 переносится и на некоторые другие математические объекты, для которых определена операция умножения.
^ 1.3. Позиционная система счисления
Позиционная система – это система счисления, основанная на принципе позиционного, или поместного, значения цифр.
Система счисления, или нумерация, – совокупность приемов представления об...
Показать текст полностью
