(241)
т. е. lnf есть аддитивный интеграл движения (рассматривается случай равновесия, когда f не зависит от времени). Используя это свойство, а также принимая во внимание известные интегралы движения механики, можно получить на основе (241) распределение Максвелла.
К этому же выводу можно подойти другим путем. Для этого рассмотрим зависимость функции распределения от скорости и отметим, что f должно зависеть только от абсолютных величин скорости (любые направления движения равноправны). Положим в выражении (208), записанном для скоростей частиц, что тогда
В этом случае условие (241) приобретает вид:
(242)
Продифференцируем обе части этого уравнения по и положим :
(243)
где
(244)
Дифференциальное уравнение (243) позволяет найти . Интегрирование этого уравнения дает:
(245)
т. е. получаем распределение Максвелла. Постоянная А легко находится из условии нормировки, а постоянная а может быть получена из сравнения известных опытных и вычисленных на основе (245) свойств идеального одноатомною газа: A=т(ь/2 kT)3/2 и a=m/2kT.
Предположим, что интеграл (237) не обращается в нуль при подстановке функций , отличных от максвелловской функции распределения. В этом случае неравновесное распределение атомов по скоростям благодаря столкновениям будет переходить в равновесное. Таким образом, Больцман обосновывал необходимость возрастания энтропии и связанного с этим установления равновесия с молекулярно-кинетических позиций.
Если же внешние силы имеют потенциал, то из уравнения Больцмана следует равновесное максвелл-больцмановское распределение.
§ 7. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦ ЛЕГКОЙ ПРИМЕСИ в ОСНОВНОМ ГАЗЕ
Рассмотрим важный частный случай, когда уравнение Больцмана удается упростить и получить уравнение диффузии частиц примеси легкого газа к основному тяже¬лому газу. Вначале сделаем ряд упрощающих предположений. Примем, что число частиц примеси n в единице объема значительно меньше, чем соответствующее число частиц N основного газа (N>>n). Будем считать также, что массы легкой (т) и тяжелой (М) частиц связаны неравенством m<<М. Для простоты рассмотрим в дальнейшем одномерное движение частиц примеси вдоль оси х, при этом состояние системы будем считать стационарным. Тогда число частиц п для стационарного состояния всей системы будет зависеть от х. -
Для того чтобы записать кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения f частиц примеси, следует учесть, что f изменяется в направлении оси х. Поэтому
,
где р – импульс легкой частицы, х – ее координата, - угол, образуемый вектором импульса с осью х. Поскольку n<<N , то столкновениями между легкими частицами можно пренебречь. В этом случая в интеграле столкновений следует оставить лишь член, учитывающий столкновения легких и тяжелых частиц.
Пусть упругое столкновение легких (л) и тяжелых (т) частиц характеризуется скоростями vт и vл, которые связаны неравенством
vт<<vл=v, (246)
тогда относительная скорость
vотн =vт-vл v (247)
Соответственно
(248)
При сделанных предположениях интеграл столкновений принимает вид:
или
(249)
Здесь - функция распределения тяжелых частиц основного газа, которая равнозначна функциям распределения и , - функция распределения легких частиц основного газа, которая равнозначна функциям распределения - полное число тяжелых частиц в единице объема.
При упругом ударе импульсы частиц p и p` изменяются не по величине, а по направлению. Поэтому примем
(250)
(251)
и будем искать зависимость распределения частиц примеси координаты х и направления полета по отношению к оси х при фиксированном значении модуля импульса. С учетом (250) и (251) интеграл столкновений примет вид:
(252)
Соответствующее кинетическое уравнение Больцмана (218) в данном случае есть
(253)
Будем искать приближенное решение этого уравнения в виде разложения по степеням малого параметра Параметр действительно мал, если разность концентрации, вызывающая движение частиц примеси вдоль х, достаточно мала. В этом случае направленное движение частиц вдоль х происходит со скоростью Vx, которая меньше скорости хаотического движения .
Представим решение кинетического уравнения (253) в виде:
(254)
где - равновесная функция распределения в точке х для фиксированного значения импульса р:
(255)
Подставим разложение (254) в (253). При такой подстановке интеграл столкновений будет равен
(256)
В левой части уравнения (253) получим
(257)
Пренебрегая поправкой второго порядка малости ( ), примем:
После упрощений кинетическое уравнение (253) примет вид:
(258)
Для дальнейшего необходимо установить связь меж¬ду углами ' и , которые образуют с осью х импульсы р' и р частиц, и углом рассеяния . Такую связь устанавливает сферическая тригонометрия в виде:
(259)
где угол определяется азимутальными углами и ' ( ) векторов импульса р и р'. Интеграл столкновений
(260)
можно преобразовать, используя формулу (259), к виду
(261)
где мы учли, что
Окончательно кинетическое уравнение (258) примет вид:
(262)
откуда искомая поправка есть
(263)
В выражение (263) введено обозначение
Величина носит название транспортного сечения столкновения. Если сечение не зависит от угла рассеяния
(264)
Если же предположить частицы твердыми шарами с радиусами r1 и r2,, то
(265)
Величина
(266)
Называется транспортной длиной свободного пробега при движении частицы легкого газа в тяжелом. Принимая во внимание обозначение (266), определим поправку (263) в виде:
(267)
и
Функция распределения позволяет рассчитать различные молекулярно-кинетические характеристики рассматриваемого процесса. В частности, представляет интерес найти средний поток частиц примеси вдоль оси х. Определим средний поток jx частиц в направлении оси х. Величина jx равна
где f—число легких частиц с данным импульсом, проходящим через сечение 1 см3 за 1 с в направлении оси х. Интегрирование по всем значениям импульса дает полное число частиц, проходящих черед площадку 1см2 за 1 с в указанном направлении.
Для того чтобы рассчитать jx следует подставить в функцию распределения :
Поскольку функция f0(p,х) не зависит от проекций вектора р, то очевидно, что первый интеграл обращается в нуль. Поэтому
(27.27)
Будем считать, что температура газа постоянна и имеется изменение концентрации примеси вдоль оси х. Пусть концентрация примеси
Вычислим теперь интеграл (266):
(267)
где мы обозначили
(268)
Назовем величину
(269)
коэффициентом диффузии и окончательно для потока частиц легкого, газа сквозь тяжелый получим
(270)
Как следует из определения коэффициента диффузии (269), величина D>0. Поэтому поток примеси легкого газа всегда направлен в сторону убывания его концентрации.
В заключение рассмотрим смысл величины . Для этого представим цилиндр с образующей, равной средней скорости < > легкой частицы, и площадью основания, совпадающей с . Очевидно, что легкая частица за 1 с столкнется со всеми тяжелыми частицами в этом цилиндре. Число таких столкновений равно произведению числа тяжелых частиц в 1 см3 и объема цилиндра: . Путь, проходимый в среднем между двумя последовательными столкновениями, т.е. средняя длина свободного пробега, равен:
(271)
Определим зависимость от давления в газе. Для идеального газа P=NkT и
(272)
Предположим для простоты, что сталкивающиеся частицы есть твердые шары с радиусами , и . Тогда справедливо (265) и
(273)
В этом случае коэффициент диффузии будет равен
(274)
Из (274) следует зависимость D от массы и размера диффундирующей частицы, размера частицы тяжелого газа, а также температуры и давления.
Приведенное здесь приближенное рассмотрение справедливо, если разложение (254) быстро сходится. Последнее имеет место, когда
или, подставляя в (275) выражение (263),
Это неравенство будет иметь место, если слабо из¬меняется на расстоянии, равном
т. е. lnf есть аддитивный интеграл движения (рассматривается случай равновесия, когда f не зависит от времени). Используя это свойство, а также принимая во внимание известные интегралы движения механики, можно получить на основе (241) распределение Максвелла.
К этому же выводу можно подойти другим путем. Для этого рассмотрим зависимость функции распределения от скорости и отметим, что f должно зависеть только от абсолютных величин скорости (любые направления движения равноправны). Положим в выражении (208), записанном для скоростей частиц, что тогда
В этом случае условие (241) приобретает вид:
(242)
Продифференцируем обе части этого уравнения по и положим :
(243)
где
(244)
Дифференциальное уравнение (243) позволяет найти . Интегрирование этого уравнения дает:
(245)
т. е. получаем распределение Максвелла. Постоянная А легко находится из условии нормировки, а постоянная а может быть получена из сравнения известных опытных и вычисленных на основе (245) свойств идеального одноатомною газа: A=т(ь/2 kT)3/2 и a=m/2kT.
Предположим, что интеграл (237) не обращается в нуль при подстановке функций , отличных от максвелловской функции распределения. В этом случае неравновесное распределение атомов по скоростям благодаря столкновениям будет переходить в равновесное. Таким образом, Больцман обосновывал необходимость возрастания энтропии и связанного с этим установления равновесия с молекулярно-кинетических позиций.
Если же внешние силы имеют потенциал, то из уравнения Больцмана следует равновесное максвелл-больцмановское распределение.
§ 7. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦ ЛЕГКОЙ ПРИМЕСИ в ОСНОВНОМ ГАЗЕ
Рассмотрим важный частный случай, когда уравнение Больцмана удается упростить и получить уравнение диффузии частиц примеси легкого газа к основному тяже¬лому газу. Вначале сделаем ряд упрощающих предположений. Примем, что число частиц примеси n в единице объема значительно меньше, чем соответствующее число частиц N основного газа (N>>n). Будем считать также, что массы легкой (т) и тяжелой (М) частиц связаны неравенством m<<М. Для простоты рассмотрим в дальнейшем одномерное движение частиц примеси вдоль оси х, при этом состояние системы будем считать стационарным. Тогда число частиц п для стационарного состояния всей системы будет зависеть от х. -
Для того чтобы записать кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения f частиц примеси, следует учесть, что f изменяется в направлении оси х. Поэтому
,
где р – импульс легкой частицы, х – ее координата, - угол, образуемый вектором импульса с осью х. Поскольку n<<N , то столкновениями между легкими частицами можно пренебречь. В этом случая в интеграле столкновений следует оставить лишь член, учитывающий столкновения легких и тяжелых частиц.
Пусть упругое столкновение легких (л) и тяжелых (т) частиц характеризуется скоростями vт и vл, которые связаны неравенством
vт<<vл=v, (246)
тогда относительная скорость
vотн =vт-vл v (247)
Соответственно
(248)
При сделанных предположениях интеграл столкновений принимает вид:
или
(249)
Здесь - функция распределения тяжелых частиц основного газа, которая равнозначна функциям распределения и , - функция распределения легких частиц основного газа, которая равнозначна функциям распределения - полное число тяжелых частиц в единице объема.
При упругом ударе импульсы частиц p и p` изменяются не по величине, а по направлению. Поэтому примем
(250)
(251)
и будем искать зависимость распределения частиц примеси координаты х и направления полета по отношению к оси х при фиксированном значении модуля импульса. С учетом (250) и (251) интеграл столкновений примет вид:
(252)
Соответствующее кинетическое уравнение Больцмана (218) в данном случае есть
(253)
Будем искать приближенное решение этого уравнения в виде разложения по степеням малого параметра Параметр действительно мал, если разность концентрации, вызывающая движение частиц примеси вдоль х, достаточно мала. В этом случае направленное движение частиц вдоль х происходит со скоростью Vx, которая меньше скорости хаотического движения .
Представим решение кинетического уравнения (253) в виде:
(254)
где - равновесная функция распределения в точке х для фиксированного значения импульса р:
(255)
Подставим разложение (254) в (253). При такой подстановке интеграл столкновений будет равен
(256)
В левой части уравнения (253) получим
(257)
Пренебрегая поправкой второго порядка малости ( ), примем:
После упрощений кинетическое уравнение (253) примет вид:
(258)
Для дальнейшего необходимо установить связь меж¬ду углами ' и , которые образуют с осью х импульсы р' и р частиц, и углом рассеяния . Такую связь устанавливает сферическая тригонометрия в виде:
(259)
где угол определяется азимутальными углами и ' ( ) векторов импульса р и р'. Интеграл столкновений
(260)
можно преобразовать, используя формулу (259), к виду
(261)
где мы учли, что
Окончательно кинетическое уравнение (258) примет вид:
(262)
откуда искомая поправка есть
(263)
В выражение (263) введено обозначение
Величина носит название транспортного сечения столкновения. Если сечение не зависит от угла рассеяния
(264)
Если же предположить частицы твердыми шарами с радиусами r1 и r2,, то
(265)
Величина
(266)
Называется транспортной длиной свободного пробега при движении частицы легкого газа в тяжелом. Принимая во внимание обозначение (266), определим поправку (263) в виде:
(267)
и
Функция распределения позволяет рассчитать различные молекулярно-кинетические характеристики рассматриваемого процесса. В частности, представляет интерес найти средний поток частиц примеси вдоль оси х. Определим средний поток jx частиц в направлении оси х. Величина jx равна
где f—число легких частиц с данным импульсом, проходящим через сечение 1 см3 за 1 с в направлении оси х. Интегрирование по всем значениям импульса дает полное число частиц, проходящих черед площадку 1см2 за 1 с в указанном направлении.
Для того чтобы рассчитать jx следует подставить в функцию распределения :
Поскольку функция f0(p,х) не зависит от проекций вектора р, то очевидно, что первый интеграл обращается в нуль. Поэтому
(27.27)
Будем считать, что температура газа постоянна и имеется изменение концентрации примеси вдоль оси х. Пусть концентрация примеси
Вычислим теперь интеграл (266):
(267)
где мы обозначили
(268)
Назовем величину
(269)
коэффициентом диффузии и окончательно для потока частиц легкого, газа сквозь тяжелый получим
(270)
Как следует из определения коэффициента диффузии (269), величина D>0. Поэтому поток примеси легкого газа всегда направлен в сторону убывания его концентрации.
В заключение рассмотрим смысл величины . Для этого представим цилиндр с образующей, равной средней скорости < > легкой частицы, и площадью основания, совпадающей с . Очевидно, что легкая частица за 1 с столкнется со всеми тяжелыми частицами в этом цилиндре. Число таких столкновений равно произведению числа тяжелых частиц в 1 см3 и объема цилиндра: . Путь, проходимый в среднем между двумя последовательными столкновениями, т.е. средняя длина свободного пробега, равен:
(271)
Определим зависимость от давления в газе. Для идеального газа P=NkT и
(272)
Предположим для простоты, что сталкивающиеся частицы есть твердые шары с радиусами , и . Тогда справедливо (265) и
(273)
В этом случае коэффициент диффузии будет равен
(274)
Из (274) следует зависимость D от массы и размера диффундирующей частицы, размера частицы тяжелого газа, а также температуры и давления.
Приведенное здесь приближенное рассмотрение справедливо, если разложение (254) быстро сходится. Последнее имеет место, когда
или, подставляя в (275) выражение (263),
Это неравенство будет иметь место, если слабо из¬меняется на расстоянии, равном
Показать текст полностью
